約束

對非自由質點系的運動預加的幾何學運動學的限制。在力學中,同約束有關的知識有三個內容,即約束力、約束方程和理想約束。

約束力

約束作用于非自由質點系的力稱為約束力。約束力的方向總是與約束所阻礙的運動方向相反。常見的約束力類型見表1。 約束力的大小是未知的,取決于非自由質點系的運動狀態和作用于非自由質點系的其他力,應通過力學定律(如運動微分方程)確定。例如,火車受到鋼軌的約束,不論運動的起始條件和火車所受的推力如何,行駛中的火車(在幾何上)總是沿著預定的曲線軌道運動。鋼軌迫使火車按預定曲線運動的力就是約束力,其大小取決于火車所受的其他力和火車的速度、加速度。又如,長為l的細剛桿(重量可忽略)的一端連以小球,另一端O以球鉸鏈懸掛而組成球面擺。小球受剛桿約束,而在重力和剛桿所加約束力作用下,以O點為中心,作半徑為l的球面運動。剛桿加于小球的約束力的大小,取決于小球所受的重力和速度(速度決定向心加速度的大小)。

圖

約束方程

約束條件的數學表示式。在分析力學中,利用約束方程就可消去與其數目相等的變數,有利于解題。約束可分“單面約束”和“雙面約束”,前者的約束條件用不等式表示,后者用方程表示。例如,被約束于物面上的質點和用不能伸長的細線懸掛的質點,它們所受的都是單面約束。前者可自約束面的一側脫離,向另一側的運動則受到限制;后者用長為l的細線懸掛于定點作單擺,質點與懸點間的距離不能大于l,但可小于l。所以約束條件為:x2+y2+z2-l2≤0。

雙面約束的質點不能自約束面的任何一側脫離約束。例如,以長為l的細剛性桿代替上例中的細線,就屬于“雙面約束”。約束條件可寫作:x2+y2+z2-l2=0。       (1)

處理單面約束的方法是,當質點在約束面上時,單面約束可當作雙面約束用方程式表示;當它已脫離時,可當做自由質點。

約束方程可按所含變數定名為幾何約束、含時幾何約束和運動約束。

幾何約束

約束方程只包含質點系中質點的坐標,如式(1)。設質點系含n個質點,將它們的3n個坐標用統一符號表示為x1x2,…,x3n,則幾何約束可寫作:f(x1x2,…,x3n)=0。      (2)

含時幾何約束

約束方程除包含坐標以外,尚包含時間t,可寫作:f(x1x2,…,x3n;t)=0。      (3)

式(2)可看成式(3)的特例,兩者都屬于有限約束。

運動約束

約束方程包含質點的速度夶i。它的通式可寫作:

f(x1x2,…,x3n;夶1,夶2,…, 夶3n;t)=0。 (4)

一般分析力學著作中只限于討論約束方程是速度的線性式,其通式可寫作:

公式 符號      (5)

式中AiA0可為x1,…,x3nt的函數。如果式(4)可積分,就能變成形如式(3)的方程。式(5)又可寫作:

公式 符號     (6)

所以運動約束又稱微分約束。

約束方程的類型取決于力學系統的類型(表2)。

圖

理想約束

又稱不作功約束,指質點系所有約束力對其作用點的虛位移(δr)所作的功的和為零的約束。如車輪、球體、柱體等物體在另一固定粗糙面上作純滾動,因接觸面沒有位移,所以通過接觸點的約束力不作功。這類約束就屬于理想約束。假定作用于質點系中的質點mi上的約束力為Ni,作用點的虛位移是δri,則理想約束可用數學式表示為:

公式 符號

常見的理想約束有:

(1)質點在固定光滑曲面或光滑曲線上的約束;

(2)連接兩個物體的光滑鉸鏈的約束;

(3)用細剛桿連接兩個質點,使兩者距離保持不變的約束。對于定常約束,因虛位移和可能位移(dr)的約束方程形式相同,所以對可能位移不作功的約束力對虛位移也不作功,例如上述中①類的約束。對于非定常約束則不然,例如一個質點被約束在運動著的光滑曲面上,其約束方程為:f(xyzt)=0。

虛位移式為:

公式 符號;      (7)

可能位移式為:

公式 符號。    (8)

因光滑曲面對質點的約束力N沿曲面的法線,所以它的三個分量NxNyNz滿足:

公式 符號

將上式代入(7)和(8)分別得:

Nxδx+Nyδy+Nzδz=0

公式 符號

上兩式左邊分別表示約束力經虛位移δr和可能位移dr所作的功。顯然,約束力對虛位移所作的功為零;而對可能位移所作的功不為零。

約束力與虛位移或可能位移之間的矢量關系如圖所示。從圖中可以看出δrN,故N·δr=0;而N·drNdrcosθ厵0。

在分析力學中,處理約束系統的力學問題,全靠理想約束這個前提條件使問題簡化。

圖

參考文章